Логистика Деда Мороза

Если уж новогоднее веселье нельзя остановить, то нужно хотя бы попробовать его математически смоделировать. Как насчет главного действующего бородатого лица – Деда Мороза? Известно, что многие дети ждут своих законных подарков под ёлками в новогоднюю ночь, и, похоже, кое-кому придется немало потрудиться, чтобы не разочаровать своих юных поклонников. Давайте попробуем посчитать, какой объём работы нужно будет проделать сказочному старцу, чтобы оставить подарок для каждого ребенка в России.

Для начала обратимся к статистике. Согласно информации, размещенной на сайте Федеральной службы государственной статистики, численность населения в России на 2018 год составляла 146 880 000 человек, из них детей в возрасте от 0 до 14 лет – 25 818 000. Будем считать, что в среднем после 14 лет дети перестают верить в Дедушку Мороза, и подарки таким ребятам уже дарят родители. Таким образом, количество подарков, которое нужно готовить Деду Морозу, равно 25 818 000. Опустим материальную сторону вопроса, так как речь идет все-таки о сказочном персонаже, а лучше давайте попробуем рассчитать длину маршрута, который потребуется преодолеть доброму старому Морозу в новогоднюю ночь.

В некоторых семьях по нескольку детей, и всех их можно будет одарить одним визитом, положив подарки под одну елочку. Согласно статистике, среднее количество детей на семью в России равно 1,6. Тогда, разделив количество детей на этот коэффициент, получим примерное количество семей: 16 136 250 семей. И сразу вычислим коэффициент соотношения таких семей к общему количеству населения. Разделив, получим, что на каждого 91 человека будет 10 таких семей, в которых в сумме будет 16 детей в возрасте до 14 лет. Таким образом, мы уже выяснили кое-что о маршруте, который предстоит пройти нашему сказочному персонажу – это количество точек, которые необходимо будет посетить. Попробуем прикинуть протяженность этого маршрута.

Конечно, длина маршрута между точками напрямую зависит от площади, на которой они распределены. Площадь России составляет 17 100 000 квадратных километров, но было бы крайне неверно считать, что население распределено по всей площади равномерно. На самом деле в небольшом количестве центральных регионов проживает бОльшая часть населения, а на большей части территории живет очень маленький процент жителей. Вот так выглядела бы наша страна если бы площадь городов на карте была пропорциональна количеству жителей.

И тут мы подходим к одному очень интересному моменту. На самом деле подобная ситуация с распределением жителей по городам не уникальная для России. Во многих странах распределение населения по городам подчиняется похожей статистике. Если выстроить города страны по количеству проживающих в них людей, то во втором по количеству населения городе будет проживать примерно вдвое меньше людей, чем в первом, в третьем – втрое меньше. Если обобщить, то количество жителей в городе равно количеству самого населенного города поделенного на номер города в списке:

Удивительно, что саму закономерность впервые заметил французский стенографист Жан-Батист Эсту в начале ХХ века. А по прошествии еще почти 50 лет идеи Эсту развил американский лингвист Джордж Ципф, показавший, что этому принципу подчиняется очень широкий круг явлений от частотности употребления слов в различных документах до распределения материальных ценностей внутри общества и популярности товаров на рынке, а впоследствии про все подобные распределения начали говорить, что они подчиняются закону Ципфа.

Но как это поможет нам оценить протяженность маршрута между точками, которыми являются координаты жилищ людей, распределенных по всей площади России? Ясно, что, если взять абсолютно равномерное распределение, то протяженность маршрута будет очень сильно завышена, т.к. фактически бОльшая часть территории России до сих пор остается практически незаселенной. Более близкий к истине результат мы получим, если возьмем площадь городов и сопоставим с количеством человек, проживающих в них. Найти такие данные удалось для 96 наиболее крупных городов России. Кстати, если попробовать рассчитать количество жителей в городе по формуле, приведенной выше, то полученные результаты будут соответствовать действительности с точностью 96,7%.

Можно пойти дальше и проверить, как будет работать закон Ципфа, если использовать его на все населенные пункты России, благо для этого нужно знать только количество городов и население самого крупного. Посмотрим совпадет ли сумма населения по Ципфу, если посчитать ее по всем населенным пунктам России, которых оказалось 136 072. Причем 133 686 из них это сёла. К удивлению, оказалось, закон Ципфа и тут выдал довольно неплохое приближение. Результаты совпали с точностью 94% , расчеты по Ципфу дали значение 154 835 932 при фактическом 146 880 000.

Думаю, будет не лишним немного подогнать результаты, убрав из хвоста лишние сёла – будем считать, что мы просто объединяем несколько мелких сёл, расположенных рядом, в одно побольше. Поэтому оставим количество населенных пунктов равное 70 800, которое выдает нам наиболее близкий к реальным данным результат.

Итак, предположим, у нас есть неплохое и очень простое приближение для расчета количества человек в населенном пункте, также мы знаем общее количество населенных пунктов. Что дальше? Если у нас есть количество ёлок, которые нужно обойти в каждом городе, то, чтобы рассчитать приблизительную длину маршрута между ними, нужно еще знать площадь, на которой они размещены (будем считать, что внутри населенных пунктов они размещены равномерно). То есть, нужно узнать площадь каждого населенного пункта из 133 686. Для этого мы будем просто умножать среднюю плотность населенного пункта на количество жителей, рассчитанное по Ципфу. В целях исследования удалось раздобыть площадь топ-100 городов России и, разделив на неё количество жителей, получить плотность населения в каждом городе. Она не убывает по Ципфу, поэтому значение вполне обосновано будет взять среднее:

Отлично, теперь у нас есть площадь каждого населенного пункта, и мы можем посчитать, сколько примерно семей в каждом городе, в которых есть дети до 14 лет, что дает нам для каждого города количество ёлок, под которые нужно положить подарки, и площадь, на которой эти ёлочки распределены. Чтобы получить нужные списки данных, допишем еще несколько строчек кода:

Теперь, похоже, у нас уже есть все необходимые данные, чтобы рассчитать длину маршрута в каждом городе. Удобнее всего, конечно будет считать путь, если между каждыми двумя ближайшими точками будет всегда одинаковое расстояние, то есть елки внутри населенных пунктов распределены равномерно, тогда мы просто представим, что Дед Мороз передвигался последовательно от одной точки к другой, и просто перемножим количество точек на это расстояние. Давайте попробуем реализовать такое размещение. Если взять квадрат с длиной стороны один километр и попробовать разместить в нем 4 точки, можно очень быстро убедиться, что расстояние между двумя вершинами внутри квадрата будет не всегда одинаковым, т.к. диагонали квадрата не равны его сторонам:

Единственная фигура с одинаковым расстоянием между любыми двумя вершинами – это равносторонний треугольник.

Итак, мы поняли, что нужно посчитать количество ёлок в городе, затем разбить его площадь на треугольники так, чтобы елочки являлись вершинами каждого треугольника, затем разделить площадь на количество треугольников, получив значение площади одного треугольника. Зная формулу площади равностороннего треугольника, очень легко вычислить саму эту длину:

Затем остается умножить длину одной стороны на количество треугольников, и мы получим длину маршрута обхода каждой вершины нашей сети. Для простоты будем считать, что все наши сети из треугольников получатся выпуклыми, и их можно будет обойти за N-1 шагов, где N = количество вершин:

                                                                                                                                                  11 шагов для обхода сети из 12 вершин

Так мы сможем получить протяженность маршрута для каждого из городов и найти их сумму:

Отлично, теперь мы знаем, что общая длина маршрутов между всеми ёлочками внутри населенных пунктов будет примерно равна 1 703 196 км. Теперь к этому остается только прибавить длину маршрута между самими городами. Чтобы рассчитать его, поступим таким же образом – возьмем общую площадь России, разделив на количество населенных пунктов, получим площадь одного треугольника, затем, вычислив сторону каждого треугольника и умножив на их количество, получим длину маршрута между всеми населенными пунктами в России и сразу же общую длину новогоднего маршрута нашего горячо любимого Дедушки Мороза:

Подытожим маршрутный лист сказочного курьера перед отправкой:

• количество доставляемого груза – 25 818 000 подарков;
• точек доставки – 16 136 250 новогодних елок в 70 800 населенных пунктов;
• протяженность маршрута – 3 375 304 километров.

Ну, а на десерт давайте рассчитаем с какой скоростью нужно двигаться, чтобы преодолеть такой маршрут за одну ночь. Будем считать, что продолжительность темного времени суток с 31 декабря на 1 января составляет 16 часов. А благодаря тому, что Россия находится сразу в 10 часовых поясах, то начав с заходом солнца в 16:56 на Камчатке и обходя в первую очередь все населенные пункты в пределах одной временной зоны, постепенно продвигаясь к центру, можно увеличить время нахождения в не освещенной солнцем части земного шара до 26 часов!

Предположим, что Дед Мороз так и поступил, тогда, даже если учитывать магическую способность оставлять подарки под елками, не совершая остановки, на то, чтобы преодолеть 3 375 304 километра, ему потребуется двигаться со скоростью почти 58,5 километров в секунду, что даже больше чем третья космическая скорость, набрав которую наш Дедушка мог бы преодолеть притяжение не только Земли, но и покинуть солнечную систему, отправившись в путешествие к ближайшим звездам!

Маршрут Деда Мороза рассчитал Никита Иванов